前后轴等效单轮假设与阿克曼几何理论

一、单轨模型的基本思想

1.1 从双轨到单轨的简化

真实车辆有四个车轮，但在某些假设下可简化为两个车轮（前轴中心和后轴中心各一个）：

真实车辆	单轨模型
前左轮 + 前右轮	等效前轮（位于前轴中心）
后左轮 + 后右轮	等效后轮（位于后轴中心）

1.2 单轨假设的条件

单轨模型成立的条件：

假设	说明	适用工况
低速行驶	$v<50km/h$	泊车、低速转向
小转向角	$\delta <10^{\circ }$	一般转向
忽略侧滑	轮胎侧偏角 $\alpha \approx 0$	干燥路面
对称载荷	左右轮载荷相等	平直路面

1.3 单轨模型的应用

• 自动泊车：低速路径规划
• AGV 导航：差速驱动机器人
• 车辆运动学分析：转向几何设计

二、阿克曼转向几何

2.1 阿克曼原理

阿克曼几何（Ackermann Geometry）的核心思想：

• 车辆转向时，四个车轮的轴线应交于一点（瞬时转向中心）
• 保证所有车轮纯滚动，无侧向滑移

        ICR (瞬时转向中心)
         ^
         |
    δ_o /| \ δ_i
       / | \
      /  |  \
     /___|___\
    FL   |   FR
    -----+-----
    RL   |   RR
         |

2.2 阿克曼几何关系

内外侧车轮转向角满足：

$$\cot {\delta }_o-\cot {\delta }_i=\frac{t_w}{L}$$

其中：

• ${\delta }_o$：外侧前轮转角
• ${\delta }_i$：内侧前轮转角
• $t_w$：轮距
• $L$：轴距

2.3 推导过程

由几何关系：

$$\begin{array}{rl}\tan {\delta }_i& =\frac{L}{R-t_w/2}\\ \tan {\delta }_o& =\frac{L}{R+t_w/2}\end{array}$$

其中 $R$ 为转向半径。整理得：

$$\cot {\delta }_o-\cot {\delta }_i=\frac{R+t_w/2}{L}-\frac{R-t_w/2}{L}=\frac{t_w}{L}$$

2.4 阿克曼率

阿克曼率（Ackermann Percentage）描述实际转向几何与理想阿克曼几何的接近程度：

$$\text{Ackermann \%}=\frac{{\delta }_{\text{actual}}-{\delta }_{\text{parallel}}}{{\delta }_{\text{ackermann}}-{\delta }_{\text{parallel}}}\times 100\%$$

其中：

• ${\delta }_{\text{parallel}}$：平行转向（${\delta }_i={\delta }_o$）
• ${\delta }_{\text{ackermann}}$：理想阿克曼转向

三、单轨模型的几何关系

3.1 等效前轮转角

在单轨模型中，等效前轮转角 $\delta$ 取内外轮转角的平均值或几何等效值：

算术平均：

$$\delta =\frac{{\delta }_i+{\delta }_o}{2}$$

阿克曼等效：

$$\cot \delta =\frac{\cot {\delta }_i+\cot {\delta }_o}{2}$$

3.2 转向中心位置

单轨模型的转向中心（ICR）位于后轴延长线上：

$$R=\frac{L}{\tan \delta }$$

其中 $R$ 为后轴中心到转向中心的距离。

3.3 小角度近似

当 $\delta$ 很小时（$\tan \delta \approx \delta$）：

$$R\approx \frac{L}{\delta }$$

四、非完整约束的引入

4.1 完整约束与非完整约束

类型	定义	示例
完整约束	仅限制位置，$f(q,t)=0$	关节连接
非完整约束	限制速度，$f(q,\dot{q},t)=0$	纯滚动

4.2 单轨模型的非完整约束

后轮速度方向必须与轮面平行（无侧滑）：

$$\dot{y}\cos \psi -\dot{x}\sin \psi =0$$

或写作：

$$\dot{y}=\dot{x}\tan \psi$$

4.3 前轮约束

前轮速度方向与前轮转角一致：

$$v_{fy}\cos (\psi +\delta )-v_{fx}\sin (\psi +\delta )=0$$

4.4 约束的积分性

非完整约束不可积分为位置约束：

$$\int (\dot{y}-\dot{x}\tan \psi )dt\ne f(x,y,\psi )$$

这意味着：

• 车辆可以到达平面内任意位姿
• 但路径受约束限制

五、单轨假设的局限性

5.1 高速工况的偏差

当车速升高时：

• 轮胎侧偏角不可忽略
• 单轨运动学模型预测误差增大
• 需引入动力学效应（单轨动力学模型）

5.2 极限转向工况

大转向角时：

• 阿克曼几何与实际偏离
• 左右轮载荷转移显著
• 需使用双轨模型

5.3 不平路面工况

路面不平时：

• 左右轮垂向运动解耦
• 单轨假设失效
• 需考虑悬架动力学

六、相关内容

• 02-非完整约束方程的数学构建与物理意义
• 01-单轨几何假设与非完整约束理论
• 02-平面位姿状态方程与运动学推导