一、约束的分类
1.1 完整约束
完整约束（Holonomic Constraint）仅限制系统的位形（位置）：
其中 为广义坐标。
特征：
- 可积分形式
- 减少系统的自由度
- 例：刚体上两点距离固定
1.2 非完整约束
非完整约束（Nonholonomic Constraint）限制系统的速度：
特征：
- 不可积分为位置约束
- 不减少系统的自由度（位形空间）
- 但限制可达路径
1.3 车辆系统中的约束
| 约束类型 | 车辆系统示例 |
|---|---|
| 完整约束 | 悬架铰接、转向梯形 |
| 非完整约束 | 车轮纯滚动（无侧滑） |
二、单轨模型的非完整约束方程
2.1 位形空间描述
单轨模型的位形由以下广义坐标描述：
其中：
- ：后轴中心在大地坐标系的位置
- ：车辆横摆角
- ：前轮转角
2.2 后轮纯滚动约束
后轮速度方向必须与轮面平行（无侧滑）：
在大地坐标系中：
或等价地：
2.3 前轮纯滚动约束
前轮速度方向与前轮转角一致：
2.4 约束的矩阵形式
将后轮约束写为 Pfaff 约束形式：
其中：
三、非完整约束的可积性分析
3.1 可积性判据
约束 可积的充要条件是存在函数 使得：
3.2 后轮约束的不可积性
后轮约束：
尝试寻找原函数 ：
但混合偏导数不相等：
因为 是独立变量。因此约束不可积。
3.3 物理意义
不可积意味着：
- 车辆可以到达平面内任意 位置
- 但不能沿任意路径到达
- 必须遵循特定的运动模式（如倒车入库需要多次前后移动）
四、非完整系统的可控性
4.1 可控性定义
可控性（Controllability）指系统能否从任意初始状态转移到任意终了状态。
4.2 单轨系统的可控性
单轨系统是非完整但可控的：
- 位形空间：（平面位姿 + 转向角）
- 输入：速度 和转向角速度
- 输出：
4.3 李括号与可控性
通过李括号分析，单轨系统的可控性条件：
其中 为输入向量场。
对于单轨系统，李括号生成了完整的切空间，因此系统是可控的。
五、非完整约束的运动规划意义
5.1 路径规划的限制
非完整约束限制了可行路径的集合：
| 路径类型 | 可行性 |
|---|---|
| 直线前进 | ✅ 可行 |
| 圆弧转向 | ✅ 可行 |
| 横向平移 | ❌ 不可行 |
| 原地旋转 | ❌ 不可行（四轮车辆） |
5.2 倒车入库的必要性
由于非完整约束，某些位姿变换需要多次前后移动：
初始位姿 ──→ 中间位姿 ──→ 最终位姿
(前进) (后退) (目标)
5.3 微分平坦性
单轨系统是微分平坦（Differentially Flat）的：
- 平坦输出：后轴中心轨迹
- 所有状态和输入可由平坦输出及其导数表示