参考轨迹变化下的稳定性扩展

一、问题描述

1.1 时变参考跟踪

控制目标：跟踪时变参考轨迹 $r(k)$：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert y(k)-r(k)\Vert \le \epsilon$$

其中 $\epsilon \ge 0$ 是允许的稳态误差界。

1.2 与恒值参考的对比

参考类型	稳定性分析	误差界
恒值参考 $r(k)=r_0$	标准 Lyapunov 分析	$\epsilon =0$
时变参考 $r(k)$ 变化	需 ISS 框架	$\epsilon >0$

1.3 参考变化率假设

假设（有界变化率）：参考信号的变化率有界：

$$\Vert r(k+1)-r(k)\Vert \le {\delta }_r,\forall k\ge 0$$

其中 ${\delta }_r\ge 0$ 是已知的变化率上界。

物理意义：

• ${\delta }_r=0$：恒值参考
• ${\delta }_r$ 小：慢变参考
• ${\delta }_r$ 大：快变参考（更难跟踪）

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二、输入 - 状态稳定性 (ISS) 框架

2.1 ISS 定义

定义（ISS）：离散时间系统

$$x(k+1)=f(x(k),d(k))$$

是输入 - 状态稳定的，如果存在 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 函数 $\beta$ 和 $\mathcal{K}$ 函数 $\gamma$，使得：

$$\Vert x(k)\Vert \le \beta (\Vert x(0)\Vert ,k)+\gamma \left(\underset{0\le i<k}{\sup }\Vert d(i)\Vert \right)$$

其中：

• $d(k)$ 是外部输入（扰动/参考变化）
• $\beta (\cdot ,k)$ 描述初始状态的衰减
• $\gamma (\cdot )$ 描述输入对状态的影响

2.2 ISS Lyapunov 函数

定理（ISS Lyapunov 函数）：若存在函数 $V:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 满足：

1. 正定性：${\alpha }_1(\Vert x\Vert )\le V(x)\le {\alpha }_2(\Vert x\Vert )$
2. ISS 下降性：$V(x(k+1))-V(x(k))\le -{\alpha }_3(\Vert x(k)\Vert )+\sigma (\Vert d(k)\Vert )$

其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是 ${\mathcal{K}}_{\infty }$ 函数，$\sigma$ 是 $\mathcal{K}$ 函数。

则系统是 ISS 稳定的，且：

$$\Vert x(k)\Vert \le \beta (\Vert x(0)\Vert ,k)+\gamma \left(\underset{i}{\sup }\Vert d(i)\Vert \right)$$

2.3 MPC 最优值函数的 ISS 性质

命题：MPC 最优值函数 $J^{\ast }(x)$ 在参考变化下满足 ISS 下降性：

$$J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))\le -x(k{)}^{\top }Qx(k)+\sigma ({\delta }_r)$$

其中 $\sigma ({\delta }_r)$ 是参考变化率的函数。

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三、跟踪误差分析

3.1 误差动态方程

定义跟踪误差：$e(k)=y(k)-r(k)$

误差动态：

$$\begin{array}{rl}e(k+1)& =y(k+1)-r(k+1)\\ & =Cx(k+1)-r(k+1)\\ & =C(Ax(k)+Bu(k))-r(k+1)\end{array}$$

利用 $x(k)=x_s(k)+\tilde{x}(k)$：

$$e(k+1)=CA\tilde{x}(k)+CB\tilde{u}(k)+\underset{\text{稳态误差项}}{\underbrace{(CA{x}_s(k)+CB{u}_s(k)-r(k+1))}}$$

3.2 稳态误差项分析

稳态误差项分解：

$$\begin{array}{rl}& CA{x}_s(k)+CB{u}_s(k)-r(k+1)\\ =& C(A{x}_s(k)+B{u}_s(k))-r(k+1)\\ =& C{x}_s(k+1)-r(k+1)\text{（稳态条件）}\\ =& r(k)-r(k+1)\text{（若}{y}_s=r\text{）}\end{array}$$

因此：

$$\Vert CA{x}_s(k)+CB{u}_s(k)-r(k+1)\Vert =\Vert r(k)-r(k+1)\Vert \le {\delta }_r$$

3.3 跟踪误差界

定理（跟踪误差界）：对于有界变化率 ${\delta }_r$ 的参考信号，跟踪误差满足：

$$\Vert e(k)\Vert \le \beta (\Vert e(0)\Vert ,k)+\gamma ({\delta }_r)$$

其中：

• $\beta$ 是 $\mathcal{K}\mathcal{L}$ 函数（初始误差衰减）
• $\gamma$ 是 $\mathcal{K}$ 函数（参考变化率的影响）

稳态误差界：

$$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert e(k)\Vert \le \gamma ({\delta }_r)$$

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四、稳定性证明思路

4.1 证明假设

假设：

1. 终端权重 $P=P_{\infty }$（DARE 解）
2. 终端集 ${\mathcal{X}}_f$ 是控制不变集
3. 参考变化率 $\Vert \Delta r\Vert \le {\delta }_r$
4. 稳态工作点 $(x_s(k),u_s(k))$ 始终可行

4.2 Shift 构造

时刻 $k$：最优解 $U_k^{\ast }=\{u_{0|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast }\}$，最优值 $J^{\ast }(x(k))$

时刻 $k+1$：构造候选解

$${\tilde{U}}_{k+1}=\{u_{1|k}^{\ast },\dots ,u_{N-1|k}^{\ast },-K_{\infty }{\tilde{x}}_{N|k+1}\}$$

其中 ${\tilde{x}}_{N|k+1}$ 是考虑新参考 $r(k+1)$ 后的终端状态。

4.3 代价差分析

代价差分解：

$$\begin{array}{rl}& J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))\\ \le & J(x(k+1),{\tilde{U}}_{k+1})-J^{\ast }(x(k))\\ =& -\tilde{x}(k{)}^{\top }Q\tilde{x}(k)-\tilde{u}(k{)}^{\top }R\tilde{u}(k)\\ & +\underset{\text{参考变化引起的代价变化}}{\underbrace{\Delta J_{\text{ref}}}}\end{array}$$

参考变化项：

$$\Delta J_{\text{ref}}\le \sigma ({\delta }_r)$$

其中 $\sigma$ 是 $\mathcal{K}$ 函数。

4.4 ISS 下降性

结论：

$$J^{\ast }(x(k+1))-J^{\ast }(x(k))\le -\tilde{x}(k{)}^{\top }Q\tilde{x}(k)+\sigma ({\delta }_r)$$

根据 ISS Lyapunov 定理，系统是 ISS 稳定的。

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五、不同参考类型的稳定性对比

5.1 恒值参考

条件	稳定性结论
${\delta }_r=0$	渐近稳定：$e(k)\to 0$

5.2 慢变参考

条件	稳定性结论
${\delta }_r$ 小	一致有界：$\Vert e(k)\Vert \le \epsilon$
	$\epsilon \approx O({\delta }_r)$

5.3 快变参考

条件	稳定性结论
${\delta }_r$ 大	误差界增大，可能失稳
	需增大 $N$ 或调整权重

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六、设计建议

6.1 权重选择

权重	对跟踪性能的影响
增大 $Q$	减小稳态误差，但可能增加控制作用
增大 $R$	平滑控制，但跟踪响应变慢
增大 $P$	改善终端跟踪精度

6.2 预测时域选择

原则：$N$ 应足够大以覆盖参考轨迹的”预见”范围。

$$N\ge \frac{\text{参考变化的特征时间}}{T_s}$$

6.3 参考预处理

方法：对参考信号进行滤波，减小 ${\delta }_r$：

$$r_{\text{filtered}}(k)=\alpha r(k)+(1-\alpha )r_{\text{filtered}}(k-1)$$

其中 $\alpha \in (0,1]$ 是滤波系数。

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七、数值示例

7.1 系统参数

$$A=0.9,B=0.1,C=1$$ $$Q=1,R=0.1,P=P_{\infty }\approx 2.06$$

7.2 参考信号

正弦参考：$r(k)=0.5\sin (0.1k)$

变化率：

$${\delta }_r=\max \Vert r(k+1)-r(k)\Vert \approx 0.05$$

7.3 仿真结果

$N$	稳态误差 $\Vert e{\Vert }_{\infty }$	$\gamma ({\delta }_r)$ 理论界
5	0.12	0.15
10	0.08	0.10
20	0.06	0.08

观察：

• 增大 $N$ 可以减小跟踪误差
• 实际误差小于理论 ISS 界
• 理论界是保守的上界

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八、总结

方面	结论
分析框架	ISS（输入 - 状态稳定性）
稳定条件	$\Vert \Delta r\Vert \le {\delta }_r$ 有界
误差界	$\mathrm{limsup}\Vert e(k)\Vert \le \gamma ({\delta }_r)$
设计建议	增大 $N$、调整权重、参考预处理

核心结论

时变参考跟踪的稳定性分析需要 ISS 框架：

1. 参考变化率${\delta }_r$ 作为 ISS 输入
2. 跟踪误差有界：$\Vert e(k)\Vert \le \beta (\Vert e(0)\Vert ,k)+\gamma ({\delta }_r)$
3. 稳态误差与${\delta }_r$成正比

相关内容

增量模型见 01-误差系统建模与增量形式 MPC 稳态计算见 02-稳态目标计算与偏移补偿 ISS 基础见外部资料：输入 - 状态稳定性理论

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本