稳态目标计算与偏移补偿

一、稳态工作点定义

1.1 稳态条件

定义（稳态工作点）：$(x_s,u_s)$ 是系统 $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$ 的稳态工作点，如果满足：

$$x_s=A{x}_s+B{u}_s$$

即：

$$(I-A)x_s=B{u}_s$$

1.2 输出跟踪条件

对于输出 $y=Cx$，跟踪参考 $r$ 需要：

$$y_s=C{x}_s=r$$

稳态方程组：

$$\left[\begin{array}{cc}I-A& -B\\ C& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ u_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ r\end{array}\right]$$

1.3 可解性条件

命题：稳态方程组有唯一解的条件是：

$$\text{rank}\left[\begin{array}{cc}I-A& -B\\ C& 0\end{array}\right]=n+m$$

其中 $n$ 是状态维度，$m$ 是输入维度。

物理意义：系统必须有足够的控制自由度来实现输出跟踪。

---

二、稳态目标在线计算

2.1 离线计算 vs 在线计算

方法	适用场景	优点	缺点
离线计算	固定参考 $r$	计算简单	灵活性差
在线计算	时变参考 $r(k)$	适应性强	增加计算负担

2.2 在线优化公式

稳态目标优化问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{x_s,u_s}{\min }& \Vert y_s-r(k){\Vert }_W^2+\Vert u_s-u_{\text{ref}}{\Vert }_V^2\\ \text{s.t.}& (I-A)x_s-B{u}_s=0\\ & x_s\in \mathcal{X}\\ & u_s\in \mathcal{U}\\ & y_s=C{x}_s\in \mathcal{Y}\end{array}$$

其中：

• $W\succ 0$ 是跟踪误差权重
• $V⪰0$ 是输入偏离权重
• $u_{\text{ref}}$ 是期望的稳态输入

2.3 QP 标准形式

转化为 QP：

令 $z=\left[\begin{array}{c}{x}_s\\ u_s\end{array}\right]$，则：

$$\begin{array}{rl}\underset{z}{\min }& \frac{1}{2}{z}^{\top }Hz+f^{\top }z\\ \text{s.t.}& Mz=0\\ & Gz\le h\end{array}$$

其中：

$$H=\left[\begin{array}{cc}{C}^{\top }WC& 0\\ 0& V\end{array}\right],f=\left[\begin{array}{c}-C^{\top }Wr(k)\\ -V{u}_{\text{ref}}\end{array}\right]$$ $$M=\left[\begin{array}{cc}I-A& -B\end{array}\right]$$

---

三、偏移补偿机制

3.1 坐标平移

定义偏移坐标：

$$\tilde{x}(k)=x(k)-x_s(k)$$ $$\tilde{u}(k)=u(k)-u_s(k)$$

偏移系统：

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}(k+1)& =x(k+1)-x_s(k+1)\\ & =Ax(k)+Bu(k)-x_s(k+1)\\ & =A(\tilde{x}(k)+x_s(k))+B(\tilde{u}(k)+u_s(k))-x_s(k+1)\\ & =A\tilde{x}(k)+B\tilde{u}(k)+\underset{\text{稳态误差}}{\underbrace{(A{x}_s(k)+B{u}_s(k)-x_s(k+1))}}\end{array}$$

若 $(x_s,u_s)$ 是稳态工作点且 $x_s(k+1)=x_s(k)$：

$$\tilde{x}(k+1)=A\tilde{x}(k)+B\tilde{u}(k)$$

3.2 跟踪问题转化为调节问题

原问题：$y(k)\to r(k)$

转化后：$\tilde{y}(k)=y(k)-y_s\to 0$

等价调节器问题：

$$\begin{array}{rl}\underset{{\tilde{U}}_k}{\min }& \sum _{i=0}^{N-1}({\tilde{x}}_{i|k}^{\top }Q{\tilde{x}}_{i|k}+{\tilde{u}}_{i|k}^{\top }R{\tilde{u}}_{i|k})+{\tilde{x}}_{N|k}^{\top }P{\tilde{x}}_{N|k}\\ \text{s.t.}& {\tilde{x}}_{i+1|k}=A{\tilde{x}}_{i|k}+B{\tilde{u}}_{i|k}\\ & {\tilde{x}}_{i|k}\in \tilde{\mathcal{X}}\\ & {\tilde{u}}_{i|k}\in \tilde{\mathcal{U}}\end{array}$$

3.3 约束变换

原约束：

$$x\in \mathcal{X},u\in \mathcal{U}$$

偏移约束：

$$\tilde{x}\in \mathcal{X}\ominus \{x_s\}=\{x-x_s\mid x\in \mathcal{X}\}$$ $$\tilde{u}\in \mathcal{U}\ominus \{u_s\}=\{u-u_s\mid u\in \mathcal{U}\}$$

注意：约束集随 $x_s,u_s$ 变化而平移。

---

四、两层 MPC 架构

4.1 架构概述

┌─────────────────────────────────────────┐
│           稳态目标层 (上层)              │
│   计算最优 (x_s, u_s) 使 y_s → r        │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  │ (x_s, u_s)
                  ↓
┌─────────────────────────────────────────┐
│          动态优化层 (下层)               │
│   计算 ũ 使 x̃ → 0 (调节器问题)          │
└─────────────────┬───────────────────────┘
                  │
     u(k) = ũ(k) + u_s(k)

4.2 计算流程

每个采样时刻 $k$：

1. 稳态目标层：

   • 测量/估计当前参考 $r(k)$
   • 求解稳态优化问题得 $(x_s^{\ast },u_s^{\ast })$
   • 传递给动态优化层

2. 动态优化层：

   • 计算偏移状态 $\tilde{x}(k)=x(k)-x_s^{\ast }$
   • 求解调节器 MPC 问题得 ${\tilde{U}}_k^{\ast }$
   • 实施控制 $u(k)={\tilde{u}}_{0|k}^{\ast }+u_s^{\ast }$

4.3 计算复杂度分析

层	问题类型	变量数	求解频率
稳态目标层	QP	$n+m$	每时刻
动态优化层	QP	$N\times m$	每时刻

总复杂度：相当于求解一个稍大的 QP 问题。

---

五、可行域分析

5.1 稳态可行域

定义：稳态可行的参考集合 $\mathcal{R}$：

$$\mathcal{R}=\{r\mid \exists (x_s,u_s)\text{ s.t. }(I-A)x_s=B{u}_s,C{x}_s=r,x_s\in \mathcal{X},u_s\in \mathcal{U}\}$$

5.2 参考可达性

命题：参考 $r$ 是可达的，当且仅当 $r\in \mathcal{R}$。

不可达参考的处理：

1. 投影法：找到 $\mathcal{R}$ 中距离 $r$ 最近的点 $r^{\ast }$

   $$r^{\ast }=\arg \underset{r^{\prime }\in \mathcal{R}}{\min }\Vert r^{\prime }-r{\Vert }_W^2$$

2. 软约束法：允许暂时违反参考，但加入惩罚

   $$\min \Vert y-r{\Vert }_W^2+\rho \cdot \text{violation}$$

5.3 动态可行域

定义：给定 $(x_s,u_s)$，动态可行的状态集合：

$$\mathcal{F}(x_s,u_s)=\{x\mid \exists \tilde{U}\text{ s.t. }\tilde{x}=x-x_s\text{ 轨迹满足约束}\}$$

实际可行域：

$${\mathcal{F}}_{\text{total}}=\bigcup _{(x_s,u_s)}\mathcal{F}(x_s,u_s)$$

---

六、数值示例

6.1 系统参数

$$A=\left[\begin{array}{cc}0.9& 0.1\\ 0& 0.8\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0.2\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$$

约束：

$$\mathcal{X}=\{x\mid |x_1|\le 2,|x_2|\le 5\},\mathcal{U}=\{u\mid |u|\le 1\}$$

6.2 稳态计算

稳态方程：

$$\left[\begin{array}{ccc}0.1& -0.1& 0\\ 0& 0.2& -0.2\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{s1}\\ x_{s2}\\ u_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ r\end{array}\right]$$

解得：

$$x_s=\left[\begin{array}{c}r\\ r\end{array}\right],u_s=r$$

可行参考范围：

$$\mathcal{R}=\{r\mid |r|\le 1\}$$

6.3 阶跃响应

参考从 $r=0$ 跳变到 $r=0.8$：

时刻	$x_s$	$u_s$	实际控制 $u(k)$
$k=0$	$[0.8,0.8{]}^{\top }$	0.8	0.95
$k=1$	$[0.8,0.8{]}^{\top }$	0.8	0.85
$k=5$	$[0.8,0.8{]}^{\top }$	0.8	0.80

---

七、总结

概念	公式/方法
稳态工作点	$(I-A)x_s=B{u}_s,C{x}_s=r$
在线计算	QP：$\min \Vert y_s-r{\Vert }_W^2+\Vert u_s-u_{\text{ref}}{\Vert }_V^2$
偏移补偿	$\tilde{x}=x-x_s,\tilde{u}=u-u_s$
两层架构	稳态层 + 动态优化层
可行参考	$r\in \mathcal{R}$

核心结论

稳态目标计算与偏移补偿将跟踪问题转化为调节问题：

1. 在线计算$(x_s,u_s)$使 $y_s=r$
2. 坐标平移$\tilde{x}=x-x_s$ 转化为调节器问题
3. 两层架构分离稳态优化与动态优化

相关内容

增量模型见 01-误差系统建模与增量形式 MPC ISS 稳定性见 03-参考轨迹变化下的稳定性扩展

---

更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本