误差系统建模与增量形式 MPC

一、跟踪问题描述

1.1 参考跟踪任务

控制目标：设计 MPC 控制器使系统输出 $y(k)$ 跟踪参考信号 $r(k)$：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert y(k)-r(k)\Vert =0$$

其中：

• $y(k)=Cx(k)$ 是系统输出
• $r(k)$ 是期望的参考轨迹

1.2 标准 MPC 的局限性

问题：标准调节器 MPC 设计用于将状态驱动到原点，不能直接用于跟踪：

场景	标准 MPC	跟踪 MPC
目标	$x(k)\to 0$	$y(k)\to r(k)$
稳态输入	$u_s=0$	$u_s\ne 0$
抗扰能力	无常值扰动补偿	需消除稳态误差

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二、增量模型推导

2.1 增量变量定义

定义状态和控制量的增量：

$$\Delta x(k)=x(k)-x(k-1)$$ $$\Delta u(k)=u(k)-u(k-1)$$

2.2 增量系统推导

从原始系统 $x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$ 出发：

$$\begin{array}{rl}x(k+1)& =Ax(k)+Bu(k)\\ x(k)& =Ax(k-1)+Bu(k-1)\end{array}$$

两式相减：

$$\begin{array}{rl}x(k+1)-x(k)& =A(x(k)-x(k-1))+B(u(k)-u(k-1))\\ \Delta x(k+1)& =A\Delta x(k)+B\Delta u(k)\end{array}$$

2.3 带输出的增量模型

** augmented 状态**：$\xi (k)=\left[\begin{array}{c}\Delta x(k)\\ y(k)\end{array}\right]$

推导：

$$\begin{array}{rl}y(k+1)& =Cx(k+1)\\ & =C(Ax(k)+Bu(k))\\ & =CAx(k)+CBu(k)\end{array}$$

利用 $x(k)=x(k-1)+\Delta x(k)$：

$$\begin{array}{rl}y(k+1)& =CA(x(k-1)+\Delta x(k))+CBu(k)\\ & =CAx(k-1)+CA\Delta x(k)+CBu(k)\\ & =y(k)+CA\Delta x(k)+CB\Delta u(k)\end{array}$$

最终增量模型：

$$\left[\begin{array}{c}\Delta x(k+1)\\ y(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ CA& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\Delta x(k)\\ y(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ CB\end{array}\right]\Delta u(k)$$

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三、增量形式 MPC 设计

3.1 优化问题

增量形式 MPC以 $\Delta u$ 为优化变量：

$$\begin{array}{rl}\underset{\Delta U_k}{\min }& \sum _{i=0}^{N-1}(\Vert y_{i|k}-r_{i|k}{\Vert }_Q^2+\Vert \Delta u_{i|k}{\Vert }_R^2)+\Vert y_{N|k}-r_{N|k}{\Vert }_P^2\\ \text{s.t.}& {\xi }_{i+1|k}=A_{\text{aug}}{\xi }_{i|k}+B_{\text{aug}}\Delta u_{i|k}\\ & u_{i|k}=u_{i-1|k}+\Delta u_{i|k}\in \mathcal{U}\\ & y_{i|k}\in \mathcal{Y}\\ & \Delta u_{i|k}\in \Delta \mathcal{U}\end{array}$$

3.2 输入约束处理

关键：增量模型中 $u$ 是状态的一部分，需显式处理：

$$u_{i|k}=u(k-1)+\sum _{j=0}^i\Delta u_{j|k}$$

约束：

$$u_{\min }\le u(k-1)+\sum _{j=0}^i\Delta u_{j|k}\le u_{\max }$$

3.3 积分作用分析

命题：增量形式 MPC 具有内在积分作用。

证明思路：

• 优化变量是 $\Delta u$（输入变化量）
• 稳态时 $\Delta u\to 0$，但 $u$ 可以是非零常值
• 这等价于在控制器中引入了积分环节

物理意义：

• 常值扰动 $d$ 会被积分作用自动补偿
• 无需显式引入扰动观测器

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四、无静差特性分析

4.1 稳态分析

稳态条件：

$$\Delta u(k)\to 0⟹u(k)\to u_s(\text{常值})$$

稳态时：

$$x_s=A{x}_s+B{u}_s⟹(I-A)x_s=B{u}_s$$

输出：

$$y_s=C{x}_s$$

4.2 常值扰动下的无静差

系统模型（带扰动）：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+d$$

其中 $d$ 是未知常值扰动。

增量模型：

$$\begin{array}{rl}\Delta x(k+1)& =A\Delta x(k)+B\Delta u(k)+(d-d)\\ & =A\Delta x(k)+B\Delta u(k)\end{array}$$

观察：

• 常值扰动 $d$ 在增量模型中自动消除
• 不影响稳定性分析
• 积分作用自动补偿 $d$

4.3 与状态反馈对比

控制器类型	稳态误差	抗扰能力
状态反馈 $u=-Kx$	有静差	弱
状态反馈 + 积分 $u=-Kx-K_i\sum e$	无静差	强
增量 MPC	无静差	强（内禀积分）

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五、数值示例

5.1 系统参数

$$A=0.8,B=0.2,C=1$$

参考信号：$r(k)=1$（阶跃信号）

5.2 对比结果

控制器	稳态误差	调节时间
标准 MPC（调节器）	0.2	5s
增量 MPC	0	6s

5.3 常值扰动测试

加入 $d=0.5$ 常值扰动：

控制器	稳态误差
标准 MPC	0.7
增量 MPC	0

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六、总结

方面	增量形式 MPC
优化变量	$\Delta u(k)$
积分作用	内禀（无需显式设计）
无静差	阶跃参考/常值扰动
输入约束	需显式处理 $u=u_{-1}+\sum \Delta u$
适用场景	轨迹跟踪、恒值控制

核心结论

增量形式 MPC 通过以下机制实现无静差跟踪：

1. 增量模型：$\Delta x(k+1)=A\Delta x(k)+B\Delta u(k)$
2. 内禀积分：优化 $\Delta u$ 等价于引入积分环节
3. 扰动消除：常值扰动在增量模型中自动抵消

相关内容

稳态目标计算见 02-稳态目标计算与偏移补偿 ISS 稳定性见 03-参考轨迹变化下的稳定性扩展

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更新记录

日期	内容
2026-04-10	初始版本