预测时域 $N$ 与控制时域 $N_u$

一、MPC 的时域概念

1.1 预测时域 (Prediction Horizon) $N$

预测时域是 MPC 优化问题中向前预测状态的步数：

$$x_{0|k},x_{1|k},\dots ,x_{N|k}$$

其中 $x_{i|k}$ 表示在时刻 $k$ 预测的第 $i$ 步状态。

1.2 控制时域 (Control Horizon) $N_u$

控制时域是优化问题中独立控制变量的作用步数：

$$u_{0|k},u_{1|k},\dots ,u_{N_u-1|k}$$

其中 $u_{i|k}$ 表示在时刻 $k$ 优化的第 $i$ 步控制输入。

1.3 时域关系

通常有以下关系：

$$1\le N_u\le N$$

时间步   k    k+1    k+2   ...   k+Nu   ...   k+N
        ┌────────────────────┐     预测时域 N
预测状态 x₀|x  x₁|x  x₂|x  ...  xₙᵤ|x  ...  xₙ|x
        ┌────────────┐
控制输入 u₀|x  u₁|x  u₂|x  ...  uₙᵤ₋₁|x
        控制时域 Nu

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二、控制时域外的假设

当 $N_u<N$ 时，需要对 $N_u$ 之后的控制输入做假设：

2.1 零保持假设 (Zero Hold)

$$u_{i|k}=u_{N_u-1|k},\forall i\ge N_u$$

最后一个优化控制输入保持不变。

2.2 零输入假设 (Zero Input)

$$u_{i|k}=0,\forall i\ge N_u$$

控制输入归零。

2.3 状态反馈假设

$$u_{i|k}=-K{x}_{i|k},\forall i\ge N_u$$

使用终端控制律（常见于稳定性分析）。

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三、预测时域 $N$ 的选择

3.1 $N$ 过小的问题

问题	说明
短视效应	无法预见较远未来的约束冲突
稳定性问题	可能无法保证闭环稳定性
性能下降	优化结果次优

3.2 $N$ 过大的问题

问题	说明
计算负担	优化变量增多，求解时间增长
数值病态	预测矩阵条件数变差
边际效益递减	超出系统响应时间后，增加 $N$ 无意义

3.3 经验法则

$$N\approx \frac{T_{\text{settling}}}{T_s}$$

其中 $T_{\text{settling}}$ 是系统调节时间，$T_s$ 是采样周期。

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四、控制时域 $N_u$ 的选择

4.1 $N_u=1$

只有一个自由控制变量：

• 计算量最小
• 控制自由度受限
• 适用于慢系统

4.2 $N_u=N$

每个预测步都有独立控制变量：

• 控制自由度最大
• 计算量最大
• 适用于快速系统

4.3 $1<N_u<N$

折中方案：

• 平衡计算量与控制性能
• 最常用的选择

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五、时域对稳定性的影响

5.1 无限时域极限

当 $N\to \infty$ 时，MPC 趋近于无限时域最优控制：

• 稳定性自动保证
• 计算不可行

5.2 有限时域条件

有限时域 $N$ 下保证稳定性需要：

• 合适的终端权重 $P$
• 合适的终端集 ${\mathcal{X}}_f$
• 足够长的预测时域

稳定性分析

见 03-无终端约束的稳定性条件 了解无终端约束时的稳定性条件。

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六、示例

6.1 一阶系统

系统：$x(k+1)=0.8x(k)+0.2u(k)$

• 时间常数 $\tau \approx 5$ 步
• 建议 $N\ge 3\tau \approx 15$ 步
• 可选 $N_u=N/2\approx 8$ 步

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七、总结

参数	符号	典型范围	影响
预测时域	$N$	$10\sim 50$	稳定性、性能
控制时域	$N_u$	$N/3\sim N$	计算量、自由度

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更新记录

日期	内容
2026-04-09	初始版本