非线性稳态经验模型与魔术公式理论

一、非线性轮胎模型的必要性

1.1 线性模型的局限

线性模型 $F_y=-C_{\alpha }\alpha$ 仅适用于小侧偏角（$\alpha <3^{\circ }$），但在以下工况中必须使用非线性模型：

工况	侧偏角范围	线性模型误差
极限操纵	$\alpha >8^{\circ }$	$>30\%$
低附着路面	$\alpha >5^{\circ }$	$>20\%$
稳定性控制	全范围	无法捕捉饱和特性

1.2 非线性模型的特点

非线性轮胎模型需要满足：

• 小侧偏角下渐近于线性模型
• 大侧偏角下趋于摩擦极限
• 能够描述纵向 - 侧向耦合

二、魔术公式（Magic Formula）

2.1 魔术公式的一般形式

魔术公式（Magic Formula, MF）由 Hans Pacejka 提出，是应用最广泛的半经验轮胎模型：

$$y=D\sin \left[C\arctan \left(Bx-E(Bx-\arctan (Bx))\right)\right]$$ $$Y=y+S_v$$

其中：

• $Y$：输出（$F_x,F_y,M_z$）
• $X$：输入（滑移率 $s$ 或侧偏角 $\alpha$）
• $B,C,D,E$：模型系数
• $S_v$：垂直偏移

2.2 系数的物理意义

系数	名称	物理意义
$B$	刚度因子	曲线原点处的斜率相关
$C$	形状因子	曲线整体形状（正弦函数的拉伸）
$D$	峰值因子	曲线峰值（$\approx$ 最大力）
$E$	曲率因子	曲线峰值附近的曲率
$S_v$	垂直偏移	零输入时的输出偏移

2.3 系数与物理参数的关系

对于纯侧偏工况：

$$\begin{array}{rl}BCD& ={\frac{\partial F_y}{\partial \alpha }|}_{\alpha =0}=C_{\alpha }\text{(侧偏刚度)}\\ D& =\mu F_z\text{(峰值力)}\end{array}$$

因此：

$$B=\frac{C_{\alpha }}{CD}=\frac{C_{\alpha }}{C\cdot \mu F_z}$$

系数辨识

魔术公式系数通过实验数据拟合得到，不同轮胎有不同的系数集。

三、标准魔术公式的简化形式

3.1 简化形式（$E=0,S_v=0$）

常用的简化形式：

$$F_y=D\sin \left[C\arctan (B\alpha )\right]$$

3.2 进一步简化

当 $C=1.3$（典型值）时，可进一步简化为：

$$F_y=\mu F_z\sin \left[1.3\arctan \left(\frac{C_{\alpha }}{1.3\mu F_z}\alpha \right)\right]$$

3.3 小角度近似验证

当 $\alpha$ 很小时：

$$\begin{array}{rl}{F}_y& \approx D\sin [C\cdot B\alpha ]\\ & \approx D\cdot C\cdot B\alpha \\ & =C_{\alpha }\alpha \end{array}$$

与线性模型一致。

四、Dugoff 轮胎模型

4.1 Dugoff 模型的解析形式

Dugoff 模型是另一种常用的解析轮胎模型：

$$F_y=\{\begin{array}{ll}-\frac{C_{\alpha }\tan \alpha }{1-s}& \text{若 }\sigma <1\\ -\mu F_z\left(1-\frac{1}{4\sigma }\right)\frac{\tan \alpha }{\sqrt{{\tan }^2\alpha +s^2}}& \text{若 }\sigma \ge 1\end{array}$$

其中：

$$\sigma =\frac{2\sqrt{(C_{\alpha }\tan \alpha {)}^2+(C_{s}s{)}^2}}{\mu F_z(1-s)}$$

4.2 模型对比

特性	魔术公式	Dugoff 模型
精度	高	中等
参数数量	多（4+）	少（2~3）
计算复杂度	高	低
纵横向耦合	需扩展	内置
解析性质	超越函数	分段代数

五、纵向 - 侧向耦合模型

5.1 摩擦椭圆耦合

基于摩擦椭圆的耦合关系：

$${\left(\frac{F_x}{{\mu }_x{F}_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{{\mu }_y{F}_z}\right)}^2\le 1$$

5.2 魔术公式的耦合扩展

耦合工况下的魔术公式：

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =D_x\sin \left[C_x\arctan \left(B_{x}s\right)\right]\cdot G_y(\alpha )\\ F_y& =D_y\sin \left[C_y\arctan \left(B_y\alpha \right)\right]\cdot G_x(s)\end{array}$$

其中 $G_y(\alpha )$ 和 $G_x(s)$ 为耦合因子。

5.3 联合滑移模型

联合滑移（Combined Slip）模型同时考虑滑移率 $s$ 和侧偏角 $\alpha$：

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F_{x0}(s)\cdot \cos (\alpha )\cdot \eta (s,\alpha )\\ F_y& =F_{y0}(\alpha )\cdot \sin (\alpha )\cdot \eta (s,\alpha )\end{array}$$

其中 $\eta (s,\alpha )$ 为耦合衰减因子。

六、模型参数辨识

6.1 实验方法

轮胎模型参数通过以下实验获取：

实验类型	目的	输出
纯侧偏实验	拟合 $F_y$-$\alpha$ 曲线	$B_y,C_y,D_y,E_y$
纯纵滑实验	拟合 $F_x$-$s$ 曲线	$B_x,C_x,D_x,E_x$
联合滑移实验	拟合耦合特性	耦合系数

6.2 参数拟合流程

graph LR
    A[实验数据] --> B[初始参数估计]
    B --> C[非线性优化]
    C --> D{收敛？}
    D -->|否 | C
    D -->|是 | E[参数验证]
    E --> F[最终参数集]

七、相关内容

• 01-轮胎侧偏特性与线性化刚度理论
• 瞬态轮胎动力学与松弛特性理论
• 01-轮胎力学参数辨识的数学理论与优化框架