准静态平面载荷转移理论推导

一、载荷转移的基本概念

1.1 载荷转移的定义

载荷转移（Load Transfer）是指车辆在加速、制动或转向工况下，前后轴之间或左右轮之间的垂直载荷重新分配现象。

$$\Delta F_z=F_z^{\text{dynamic}}-F_z^{\text{static}}$$

1.2 载荷转移的分类

类型	方向	产生原因	影响
纵向载荷转移	前后轴之间	纵向加速度	影响前后轴抓地力平衡
侧向载荷转移	左右轮之间	侧向加速度	影响左右轮侧偏刚度
复合载荷转移	同时存在	联合工况	非线性耦合效应

1.3 准静态假设

准静态假设（Quasi-Static Assumption）：

• 忽略悬架动态响应（侧倾角速度、俯仰角速度）
• 假设载荷转移瞬间完成
• 适用于频率 $<2\mathrm{Hz}$ 的操纵输入

准静态 vs 动态

准静态模型无法捕捉载荷转移的瞬态过程（如阶跃转向后的载荷振荡），但足以分析稳态和低频响应。

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二、纵向载荷转移

2.1 纯制动工况的力矩平衡

graph TD
    subgraph 车辆侧视
    A[前轮] --> B[质心 CG]
    B --> C[后轮]
    D[制动力 F_x] --> B
    E[载荷转移 ΔF_z] --> A
    end

对后轮接地点取矩：

$$F_{z,f}L=mg{L}_r+m{a}_x{h}_{\text{CG}}$$

解得前轴载荷：

$$F_{z,f}=\frac{L_r}{L}mg+\frac{h_{\text{CG}}}{L}m{a}_x$$

2.2 前后轴载荷变化

$$\begin{array}{rl}{F}_{z,f}& =F_{z,f}^{\text{static}}+\Delta F_{z,\text{long}}\\ F_{z,r}& =F_{z,r}^{\text{static}}-\Delta F_{z,\text{long}}\end{array}$$

其中纵向载荷转移量：

$$\Delta F_{z,\text{long}}=\frac{h_{\text{CG}}}{L}m{a}_x$$

2.3 制动工况的典型数值

参数	符号	数值
质心高度	$h_{\text{CG}}$	$0.55\mathrm{m}$
轴距	$L$	$2.7\mathrm{m}$
制动减速度	$a_x$	$-0.5g=-4.9m/{\mathrm{s}}^2$
整车质量	$m$	$1500\mathrm{kg}$

$$\Delta F_{z,\text{long}}=\frac{0.55}{2.7}\times 1500\times (-4.9)\approx -1500\mathrm{N}$$

即制动时前轴载荷增加约 $150\mathrm{kgf}$，后轴减少相同数值。

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三、侧向载荷转移

3.1 侧向加速度引起的力矩平衡

graph TD
    subgraph 车辆前视
    A[左轮] --> B[质心 CG]
    B --> C[右轮]
    D[侧向力 F_y] --> B
    E[载荷转移 ΔF_z] --> C
    F[侧倾力矩 M_φ] --> B
    end

对左轮接地点取矩：

$$F_{z,r}t=\frac{mgt}{2}+m{a}_y{h}_{\text{CG}}$$

但需考虑悬架侧倾柔度。

3.2 悬架侧倾刚度的影响

车身侧倾角 $\varphi$ 由侧倾力矩平衡：

$$(k_{\varphi ,f}+k_{\varphi ,r})\varphi =m{a}_y{h}_{\text{CG}}+mg{h}_{\text{CG}}\sin \varphi$$

小角度近似（$\sin \varphi \approx \varphi$）：

$$\varphi =\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{k_{\varphi ,f}+k_{\varphi ,r}-mg{h}_{\text{CG}}}$$

3.3 前后轴的载荷分配

前后轴侧倾刚度分配系数：

$${\eta }_f=\frac{k_{\varphi ,f}}{k_{\varphi ,f}+k_{\varphi ,r}},{\eta }_r=1-{\eta }_f$$

前轴载荷转移：

$$\Delta F_{z,f}={\eta }_f\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_f}+\frac{k_{\varphi ,f}\varphi }{t_f}$$

后轴载荷转移：

$$\Delta F_{z,r}={\eta }_r\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_r}+\frac{k_{\varphi ,r}\varphi }{t_r}$$

3.4 简化公式（忽略侧倾角）

若悬架刚度很大（$\varphi \approx 0$）：

$$\begin{array}{rl}\Delta F_{z,f}& \approx {\eta }_f\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_f}\\ \Delta F_{z,r}& \approx {\eta }_r\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_r}\end{array}$$

总侧向载荷转移：

$$\Delta F_{z,\text{lat}}=\Delta F_{z,f}+\Delta F_{z,r}=\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_{\text{eff}}}$$

其中 $t_{\text{eff}}$ 为等效轮距。

3.5 典型数值

参数	符号	数值
前侧倾刚度	$k_{\varphi ,f}$	$800\mathrm{N}\cdot m/rad$
后侧倾刚度	$k_{\varphi ,r}$	$600\mathrm{N}\cdot m/rad$
前轮距	$t_f$	$1.6\mathrm{m}$
后轮距	$t_r$	$1.55\mathrm{m}$
侧向加速度	$a_y$	$0.5g=4.9m/{\mathrm{s}}^2$

$$\begin{array}{rl}{\eta }_f& =\frac{800}{800+600}=0.57\\ \Delta F_{z,f}& \approx 0.57\times \frac{1500\times 4.9\times 0.55}{1.6}\approx 1430\mathrm{N}\\ \Delta F_{z,r}& \approx 0.43\times \frac{1500\times 4.9\times 0.55}{1.55}\approx 1120\mathrm{N}\end{array}$$

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四、复合载荷转移

4.1 纵向 + 侧向联合工况

同时存在 $a_x$ 和 $a_y$ 时，四轮载荷分别为：

$$\begin{array}{rl}{F}_{z,fl}& =\frac{L_r}{2L}mg+\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x+{\eta }_f\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_f}\\ F_{z,fr}& =\frac{L_r}{2L}mg+\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x-{\eta }_f\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_f}\\ F_{z,rl}& =\frac{L_f}{2L}mg-\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x+{\eta }_r\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_r}\\ F_{z,rr}& =\frac{L_f}{2L}mg-\frac{h_{\text{CG}}}{2L}m{a}_x-{\eta }_r\frac{m{a}_y{h}_{\text{CG}}}{t_r}\end{array}$$

4.2 摩擦椭圆约束

每个轮胎的合力受摩擦椭圆限制：

$${\left(\frac{F_x}{{\mu }_x{F}_z}\right)}^2+{\left(\frac{F_y}{{\mu }_y{F}_z}\right)}^2\le 1$$

载荷转移后，外侧车轮 $F_z$ 增大但 $\mu$ 可能减小（轮胎非线性），内侧车轮 $F_z$ 减小。

4.3 总侧向力的损失

由于载荷转移导致的总侧向力损失：

$$\Delta F_y^{\text{total}}=F_y^{\text{no transfer}}-F_y^{\text{with transfer}}$$

线性轮胎模型下：

$$\Delta F_y^{\text{total}}\approx \frac{C_{\alpha }}{F_{z0}}\cdot \frac{(\Delta F_z{)}^2}{F_{z0}}$$

物理意义

载荷转移总是降低总侧向力。这就是为什么赛车使用软悬架来减少载荷转移。

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五、载荷转移对操纵特性的影响

5.1 侧偏刚度的载荷敏感性

轮胎侧偏刚度与垂直载荷的关系：

$$C_{\alpha }(F_z)=C_{\alpha 0}{\left(\frac{F_z}{F_{z0}}\right)}^n$$

典型指数 $n\approx 0.8\sim 0.9$。

5.2 有效侧偏刚度的计算

左右轮载荷转移后，轴的有效侧偏刚度：

$$C_{\alpha }^{\text{eff}}=\frac{1}{2}\left[C_{\alpha }(F_{z0}+\Delta F_z)+C_{\alpha }(F_{z0}-\Delta F_z)\right]$$

泰勒展开（$\Delta F_z\ll F_{z0}$）：

$$C_{\alpha }^{\text{eff}}\approx C_{\alpha 0}\left[1-\frac{n(1-n)}{2}{\left(\frac{\Delta F_z}{F_{z0}}\right)}^2\right]$$

5.3 对不足转向梯度的影响

原始不足转向梯度：

$$K=\frac{m}{L}\left(\frac{L_r}{C_{\alpha r}}-\frac{L_f}{C_{\alpha f}}\right)$$

载荷转移后的修正：

$$K^{\prime }=\frac{m}{L}\left(\frac{L_r}{C_{\alpha r}^{\text{eff}}}-\frac{L_f}{C_{\alpha f}^{\text{eff}}}\right)$$

通常 $K^{\prime }>K$（更趋向不足转向）。

5.4 极限侧向加速度的降低

最大侧向加速度：

$$a_{y,\text{max}}=\mu g\cdot \frac{t}{t+2\mu h_{\text{CG}}}$$

载荷转移因子 $\frac{t}{t+2\mu h_{\text{CG}}}$ 总是小于 1。

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六、数值示例

6.1 车辆参数

参数	符号	数值
整车质量	$m$	$1500\mathrm{kg}$
轴距	$L$	$2.7\mathrm{m}$
质心到前轴	$L_f$	$1.1\mathrm{m}$
质心到后轴	$L_r$	$1.6\mathrm{m}$
质心高度	$h_{\text{CG}}$	$0.55\mathrm{m}$
前轮距	$t_f$	$1.6\mathrm{m}$
后轮距	$t_r$	$1.55\mathrm{m}$
前侧倾刚度	$k_{\varphi ,f}$	$800\mathrm{N}\cdot m/rad$
后侧倾刚度	$k_{\varphi ,r}$	$600\mathrm{N}\cdot m/rad$

6.2 纯转向工况（$a_y=0.5g$）

$$\begin{array}{rl}\text{前轴载荷转移：}\Delta F_{z,f}& =1430\mathrm{N}\\ \text{后轴载荷转移：}\Delta F_{z,r}& =1120\mathrm{N}\\ \text{外侧轮载荷：}{F}_{z,\text{out}}& =F_{z0}+\Delta F_z\approx 4900\mathrm{N}\\ \text{内侧轮载荷：}{F}_{z,\text{in}}& =F_{z0}-\Delta F_z\approx 2600\mathrm{N}\end{array}$$

6.3 纯制动工况（$a_x=-0.5g$）

$$\begin{array}{rl}\text{纵向载荷转移：}\Delta F_{z,\text{long}}& =1500\mathrm{N}\\ \text{前轴载荷：}{F}_{z,f}& =8650+1500=10150\mathrm{N}\\ \text{后轴载荷：}{F}_{z,r}& =6350-1500=4850\mathrm{N}\end{array}$$

6.4 联合工况（$a_x=-0.3g,a_y=0.4g$）

车轮	垂直载荷 $(\mathrm{N})$
前外 (fl)	$5800+450+920=7170$
前内 (fr)	$5800+450-920=5330$
后外 (rl)	$3400-270+740=3870$
后内 (rr)	$3400-270-740=2390$

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七、相关内容

• 01-左右轮独立受力模型与轮距效应分析
• 01-轮胎非线性特性与摩擦椭圆约束的全面引入
• 01-极限侧滑工况下的相平面稳定性理论